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Visualizzazione dei post da Agosto, 2022

Teorema di determinazione di un'applicazione lineare

 Siano $V$ e $W$ due $K$-spazi vettoriali, sia $B=\{v_1,...,v_n\}$ una base di $V$ e $w_1,...,w_n$ dei vettori qualunque di $W$. Allora esiste ed è unica un'applicazione lineare $f:V\rightarrow W$ tale che $f(v_i)=w_i$ per $i=1,...,n$. Dimostrazione Si tratta di un teorema di esistenza ed unicità, per prima cosa supponiamo che questa $f$ esista e dimostriamo che essa sarebbe unica. Sia $v \in V$, allora $v$ può essere scritto in maniera unica come combinazione lineare dei vettori della base $B$, cioè $v=\lambda_1 v_1+...+ \lambda_n v_n$. Consideriamo allora $f(v)$ allora possiamo scrivere $f(v)=f(\lambda_1 v_1+...+ \lambda_n v_n)=f(\lambda_1 v_1)+...+ f(\lambda_n v_1 )= \lambda_1 f(v_1)+...+ \lambda_n f(v_n)$ dove negli ultimi due passaggi abbiamo utilizzato il fatto che $f$ è lineare.  Ma quindi $f(v)$ si può scrivere in maniera unica come combinazione lineare dei vettori $f(v_1),...,f(v_n) $, quindi la nostra $f$ è unica. Dimostriamo ora l'esistenza di questa $f$. Consideri

Temperatura di un muro in durante un passaggio di calore

Vi sono tre materiali da costruzione: intonaco $k = 0,30 J/(s\cdot m\cdot °C)$, mattone $0,60 J/(s\cdot m\cdot °C)$ e legno  $k = 0,10 = J/(s\cdot m\cdot °C)$ che vengono utilizzati insieme. Le temperature all'interno e all'esterno valgolono rispettivamente $27 °C$ e $0 °C$ e i tre materiali hanno lo stesso spessore e la stessa sezione trasversale. Calcola la temperatura dell'interfaccia inonaco-mattone e dell'interfaccia mattone-legno. Esercizio piuttosto complesso dal punto di vista intuitivo, anche se facile dal punto di vista matematico. Sappiamo che la quantità di calore che attraversa un materiale è data dalla relazione $Q=\frac{kA\Delta T \Delta t}{L}$. Per comodità consideriamo invece la quantità di calore che scorre nell'unità di tempo (un secondo), avrà la forma di una potenza: $P=Q/\Delta t=\frac{kA\Delta T}{L}$. Ragioniamo in questo modo: la stessa quantità di calore che entra attraverso un materiale deve uscirne -altrimenti vi sarebbero insta

Un blocco si trova su un piano inclinato

Un blocco di $6.4 Kg$ si trova su un piano inclinato di $25^\circ$ privo di attrito, trainato verso l’alto da una forza $F=38 N$ a sua volta inclinata da $33^\circ$ rispetto al piano inclinato. Assumi come positivo il verso del moto quando avviene in salita. Qual’è il valore dell’accelerazione del blocco?  Il moto del blocco avviene in salita oppure in discesa? impostiamo: $\alpha = 25^\circ$ e $\beta = 33^\circ$ Risoluzione: 1. $F_{tot} = mg \sin (25^\circ ) + F\cos (33^\circ ) = ma$ risolviamo per $a$ e troviamo  $a = \frac{F_{tot}}{m}$ e così abbiamo trovato l'accelerazione del blocco  2. "Assumi come positivo il verso del moto quando avviene in salita", questa parte è molto importante per rispondere, ci da un punto di riferimento sul quale partire per rispondere alla secondo domanda dobbiamo mettere a confronto la forza peso (con verso negativo) e la forza $F$ con verso positivo): La forza peso tenderà a portare il blocc

Carica di una sfera omogena

 Una sfera omogenea di raggio $R = 10\ cm$ genera a una distanza di $25\ cm$ dal suo centro un campo elettrico di $1,3= 10^6 N/C$. Calcola la carica Q contenuta nella sfera. Se la sfera fosse immersa in un mezzo con $\varepsilon_r= 2,3$ quale sarebbe la carica contenuta nella sfera?   Risoluzione:   1. Vista la simmetria sferica del problema, e sapendo che, al di fuori di una sfera, il campo elettrico generato da essa è identico a quello generato da una carica puntiforme posizionata nel centro della sfera, possiamo dunque scrivere la relazione: $E=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$ (valida per r>R, cioè quando effettuo il calcolo al di fuori della sfera) Da qui possiamo dunque ottenere: $Q=E 4\pi \varepsilon_0 r^2$ Sapendo che a $r=25cm$, vale $1,3= 10^6 N/C$, possiamo ottenere: $Q=1,3= 10^6 N/C \cdot 4\pi \varepsilon_0 (0.25 m)^2=9,0\times 10^{-6} C$   2. Per poter tenere conto del dielettrico basta rimpiazzare $\varepsilon_0 \rightarrow \varepsilon_0 \varepsilon_r$. Quindi Q diven

Differenza di potenziale tra i centri delle due spire

Data l'immagine sopra riportata, calcolare la differenza di potenziale tra i centri delle due spire. per al risoluzione di questo problemi si utilizza il principio di sovrapposizione $V_p = V_p^1 + V_p^2$ dove $V_p$ è la differenza di potenziale totale,  $V_p^1$ è la differenza di potenziale dato dalla prima spira in un punto P, $V_p^2$ è la differenza di potenziale della seconda spira in un punto P. Calcoliamo la differenza di potenziale nel centro della prima spira $O_1$: $ V_{O1} = V_{O1}^1 + V_{O1}^2 $  con $ V_{O1}^1 = \frac{q}{ 4 \pi \varepsilon_0 R} $ $ V_{O1}^2 = \frac{-q}{ 4 \pi \varepsilon_0 r} $  ma che valore ha r? r lo si trova applicando il teorema di Pitagora: $ r = \sqrt{R^2 + d^2} $ $ V_{O1} =   \frac{q}{ 4 \pi \varepsilon_0 R} + \frac{-q}{ 4 \pi \varepsilon_0 \sqrt{R^2 + d^2}} =  \frac{q}{ 4 \pi \varepsilon_0} ( \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + d^2}} ) $ Lo stesso procedimento lo applichiamo sul il centro della seconda spira $ V_{O2} = V_{O2}^1 + V_{O2}^2 $  con