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Due sfere di massa m appese allo stesso perno tramite due fili (PENDOLO)

 Due sfere di massa $m_1 =m_2$ sono appese allo stesso perno $O$ tramite due fili di uguale lunghezza $L$. 

Se $m_1$ viene portata fuori dalla verticale di una quantità $h$ e lasciata andare urta $m_2$. Determinare l'equazione del moto del sistema, se:                                                                         

$Richieste$

$1)$ L'urto è completamente anaelastico

$2)$ L'urto è perfettamente elastico

$3)$ Descrivere il tipo di moto se l'urto è perfettamente elastico ma si tiene conto della resistenza (viscosa)
dell'aria



$Risposte:$

$1)$ Nel caso di un urto completamente anaelastico le due particelle procedono unite, come un unico pendolo di massa $m_1+m_2$.
il periodo $T$ di tale pendolo non dipende dalla massa ed è pari a:
$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$

L'ampiezza del moto si ottiene calcolando la velocità immediatamente dopo l'urto, applicando la conservazione della quantità di moto:
$m_1 *v_1 = (m_1+m_2)*v$
 dove $v_1$ è la velocità della massa $m_1$ e $v$ è la velocità dopo l'urto 

dove $v^2=2gh$  -->  $v= \sqrt{2gh}$            $g$ è l'accelerazione di gravità e h altezza della massa $m_1$

$v_1=\frac{m_1}{m_1+m_2}*v = \frac{m_1}{m_1+m_2}* \sqrt{2gh} =$

dal testo del problema sappiamo che $m_1 =m_2$ quindi 

$=  \frac{m_1}{m_1+m_2}* \sqrt{2gh} = \frac{m_1}{2m_1}* \sqrt{2gh} = \frac{\sqrt{2gh}}{2}$

applicando la conservazione dell'energia meccanica al pendolo di massa $m_1+m_2$ avremo che la quota massima $h_{max}$ sarà data:

$h_{max} = \frac{v}{2g} = \frac{2gh}{4}*\frac{1}{2g} = \frac{h}{4}$

Ora abbiamo trovato tutto il necessario per determinare dell'equazione del moto!

L'angolo di oscillazione massimo $\theta_{max}$ sarà dato da:

    
$\theta_{max} = arccos(\frac{L-h_{max}}{L}) = arccos(1-\frac{h}{4L})$

l'equazione del moto sarà dunque:

$\theta = \theta_{max}*sin(\omega t)$

con $\omega = 2\pi * \frac{L}{g}$  e $\theta_{max} =arccos\left(1-\frac{h}{4L}\right)$



$2)$ Nel caso di un moto perfettamente elastico:
dopo l'urto la massa $m_1$ resta ferma e la seconda ($m_2$) procede con velocità:

$v= \sqrt{2gh}$ cioè con la stessa velocità che aveva la massa $m_1$ prima dell'urto 

Le due masse si muovono come un pendolo semplice di massa $m$ e periodo $T=2*\pi*\sqrt{\frac{L}{g}}$ alternativamente con ampiezza massima: 

 $\theta_{max}=arccos\left(\frac{L-h}{L}\right) =arccos\left(1-\frac{h}{L}\right)$


$3)$ Nel caso tenessimo conto dell'attrito viscoso dell'aria con l'urto che è perfettamente elastico:

le due masse si muoverebbero alternativamente come nel caso $2)$ ma l'ampiezza delle oscillazioni diminuirà gradualmente. Lo pseudoperiodo sarà sempre: 

$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$















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