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Compressione adiabatica gas

All’interno di un cilindro, perfettamente isolato e munito di un pistone mobile, è contenuto un gas perfetto monoatomico ($γ = 5/3$), alla pressione iniziale di $1,50 \cdot 10^5 Pa$. Il pistone viene spinto verso il basso in modo da comprimere il gas, con il risultato che la sua temperatura assoluta raddoppia.
 
Qual è la pressione finale del gas?

Sapendo che per una trasformazione adiabatica è valida questa relazione: $PV^\gamma =cost$, che tuttavia, sapendo la legge di stato di un gas perfetto può essere scritta in modi diversi, a noi interessa far sparire il volume e far apparire la temperatura.
La legge di stato ci dice che $PV=nRT$, oppure $V=\frac{nRT}{P}$, sostituendo otteniamo che: $P^{\gamma -1}T^\gamma nR=cost$, $nR$ si possono semplificare, in quanto costanti, rimane che
$P_i^{1- \gamma}T_i^\gamma=P_f^{1-\gamma}T_f^\gamma$, risolvendo (sapendo che $T_f=2T_i$otteniamo che $P_f=\sqrt[1-\gamma]{\frac{P_i^{1- \gamma}T_i^\gamma}{2^\gamma T_i^\gamma}}=8,49\cdot 10^5 Pa$

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