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Barrette rotanti all'interno di un campo magnetico

Due barrette conduttrici lunghe 0,68 m ruotano alla stessa velocità in sensi opposti in un piano perpendiscolare a un campo magnetico di 4,7 T. Le estremità delle sbarrette si avvicinano fino a 1 mm durante la rotazione. Le estremità fisse sono connesse mediante un filo e quindi hanno lo stesso potenziale elettrico. Perchè scocchi una scintilla di 1 mm in aria è necessaria una differenza di potenziale di $4,5 \cdot 10^3 V$.

Qual è la velocità angolare (in $rad/s$) delle sbarrette quando scocca una scintilla fra le loro estremità in moto?


Per risolvere questo problema ci sono due modi differenti, uno utilizzando un integrale per calcolare la forza di Lorentz applicata su una sbarra in moto rotatorio - ciò è necessario perchè la velocità tangenziale varia in base alla distanza dal punto di rotazione, si ricordi che $V_{tang}=\omega r$ -, che eviteremo di usare, dato che di consueto questo argomento di fisica viene svolto prima di studiare gli integrali.
Il secondo metodo prevede il calcolo del flusso rispetto alle linee di campo che vengono spazzate dalla sbarretta nell'unità di tempo, pensandolo come $\Phi_B=B \cdot A$, dove $A$ però corrisponde al settore circolare percorso nell'unità di tempo, ossia $\Delta A=\frac{\theta}{2\pi}\cdot A_{cerchio}=\frac{\omega \cdot t}{2\pi}\pi r^2 $.
Per la legge di Faraday applicata alle due sbarrette noi sappiamo che $\varepsilon=\frac{\Delta \Phi_B}{\Delta t}=2\pi Br^2\frac{\omega}{2\pi}=Br^2\omega$
Risulta quindi $\omega=\frac{\varepsilon}{Br^2}=2070 T $

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