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Elettrone all'interno di un condensatore piano


Un elettrone inizialmente fermo è lasciato libero sulla lamina negativa all'interno di un condensatore piano. La carica per unità di superficie su ciascuna lamina è $\sigma=1.8 \cdot 10^{-7} C/m^2$ e le due lamine distano $1.5 \times 10^{-2}m.$
Qual è la velocità dell'elettrone un istante prima di raggiungere la lamina positiva?

Con la cinematica

Sappiamo per che all'interno di un condensatore il campo elettrico $E$ è è dato dalla formula $E=\frac{\sigma}{\epsilon_0}$.
Ricordando la definizione di campo elettrico, sull'elettrone agirà una forza $F=E\cdot q$, ma varrà anche $F=ma$, quindi $E\cdot q=ma$, cioè $a=\frac{E\cdot q}{m}=\frac{\sigma q}{m \epsilon_0}=$ $\frac{1,8 \times 10^{-7} \times 1,602 \times 10^{-19}}{8,85 \times 10^{-12} \cdot 9,1 \times 10^{-31}} m/s^2$ 

Cioè $a=3.6 \times 10^{15} m/s^2$.

Ora che sappiamo l'accelerazione dell'elettrone, possiamo rispolverare una formula di cinematica: $s=\frac{V_f^2-V_i^2}{2a}$, e sapendo che $V_i=0 m/s$ dato che l'elettrone parte da fermo ($V_i$ sta per velocità iniziale e $V_f$ per velocità finale) , otteniamo $V_f^2=2s\times a$ e quindi: $V_f=\sqrt{2s\times a}$, dove $s$ è lo spazio percorso, ossia la distanza tra le due piastre del condensatore. Numericamente otteniamo $V_f=\sqrt{2\cdot 1.5 \times 10^{-2} \cdot 3.6 \times 10^{15}}\ m/s= 8.5\times 10^6 \ m/s$
 

 Metodo alternativo: con le energie

Ricordiamo che all'interno di un condensatore l'energia potenziale è data da $Eqd$, dove $E$ è il campo elettrico al suo interno, $q$ è la carica del nostro elettrone e $d$ è la distanza tra le due piastre.

Una volta che l'elettrone è giunto da una piastra all'altra, questa energia potenziale si è trasformata in energia cinetica: $\frac{1}{2} m V^2$, quindi possiamo scrivere  $Eqd=\frac 12 m V^2$, otteniamo che $V^2=2Eqd/m$ e quindi $V=\sqrt{2Eqd/m}$, però il campo elettrico all'interno del condensatore può essere espresso come $E=\frac{\sigma}{\epsilon_0}$ e quindi otteniamo $V=\sqrt{\frac{2\sigma qd} {\epsilon_0 m}}$, stesso risultato ottenuto col primo metodo.

 

Es. 40 cap. 15 "I problemi della fisica" Cutnell 

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