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Benvenuti in esercizi.tk!

In questo sito rendiamo comprensibili temi, concetti di fisica e matematica. È possibile trovare spiegazioni teoriche e risoluzioni di problemi che siamo soliti incontrare quotidianamente. Tutto ciò attraverso teoria e dimostrazioni, esercizi che i membri della nostra Facebook community ci inviano.  
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Teorema di determinazione di un'applicazione lineare

 Siano $V$ e $W$ due $K$-spazi vettoriali, sia $B=\{v_1,...,v_n\}$ una base di $V$ e $w_1,...,w_n$ dei vettori qualunque di $W$. Allora esiste ed è unica un'applicazione lineare $f:V\rightarrow W$ tale che $f(v_i)=w_i$ per $i=1,...,n$. Dimostrazione Si tratta di un teorema di esistenza ed unicità, per prima cosa supponiamo che questa $f$ esista e dimostriamo che essa sarebbe unica. Sia $v \in V$, allora $v$ può essere scritto in maniera unica come combinazione lineare dei vettori della base $B$, cioè $v=\lambda_1 v_1+...+ \lambda_n v_n$. Consideriamo allora $f(v)$ allora possiamo scrivere $f(v)=f(\lambda_1 v_1+...+ \lambda_n v_n)=f(\lambda_1 v_1)+...+ f(\lambda_n v_1 )= \lambda_1 f(v_1)+...+ \lambda_n f(v_n)$ dove negli ultimi due passaggi abbiamo utilizzato il fatto che $f$ è lineare.  Ma quindi $f(v)$ si può scrivere in maniera unica come combinazione lineare dei vettori $f(v_1),...,f(v_n) $, quindi la nostra $f$ è unica. Dimostriamo ora l'esistenza di questa $f$. Consideri

Temperatura di un muro in durante un passaggio di calore

Vi sono tre materiali da costruzione: intonaco $k = 0,30 J/(s\cdot m\cdot °C)$, mattone $0,60 J/(s\cdot m\cdot °C)$ e legno  $k = 0,10 = J/(s\cdot m\cdot °C)$ che vengono utilizzati insieme. Le temperature all'interno e all'esterno valgolono rispettivamente $27 °C$ e $0 °C$ e i tre materiali hanno lo stesso spessore e la stessa sezione trasversale. Calcola la temperatura dell'interfaccia inonaco-mattone e dell'interfaccia mattone-legno. Esercizio piuttosto complesso dal punto di vista intuitivo, anche se facile dal punto di vista matematico. Sappiamo che la quantità di calore che attraversa un materiale è data dalla relazione $Q=\frac{kA\Delta T \Delta t}{L}$. Per comodità consideriamo invece la quantità di calore che scorre nell'unità di tempo (un secondo), avrà la forma di una potenza: $P=Q/\Delta t=\frac{kA\Delta T}{L}$. Ragioniamo in questo modo: la stessa quantità di calore che entra attraverso un materiale deve uscirne -altrimenti vi sarebbero insta

Un blocco si trova su un piano inclinato

Un blocco di $6.4 Kg$ si trova su un piano inclinato di $25^\circ$ privo di attrito, trainato verso l’alto da una forza $F=38 N$ a sua volta inclinata da $33^\circ$ rispetto al piano inclinato. Assumi come positivo il verso del moto quando avviene in salita. Qual’è il valore dell’accelerazione del blocco?  Il moto del blocco avviene in salita oppure in discesa? impostiamo: $\alpha = 25^\circ$ e $\beta = 33^\circ$ Risoluzione: 1. $F_{tot} = mg \sin (25^\circ ) + F\cos (33^\circ ) = ma$ risolviamo per $a$ e troviamo  $a = \frac{F_{tot}}{m}$ e così abbiamo trovato l'accelerazione del blocco  2. "Assumi come positivo il verso del moto quando avviene in salita", questa parte è molto importante per rispondere, ci da un punto di riferimento sul quale partire per rispondere alla secondo domanda dobbiamo mettere a confronto la forza peso (con verso negativo) e la forza $F$ con verso positivo): La forza peso tenderà a portare il blocc

Carica di una sfera omogena

 Una sfera omogenea di raggio $R = 10\ cm$ genera a una distanza di $25\ cm$ dal suo centro un campo elettrico di $1,3= 10^6 N/C$. Calcola la carica Q contenuta nella sfera. Se la sfera fosse immersa in un mezzo con $\varepsilon_r= 2,3$ quale sarebbe la carica contenuta nella sfera?   Risoluzione:   1. Vista la simmetria sferica del problema, e sapendo che, al di fuori di una sfera, il campo elettrico generato da essa è identico a quello generato da una carica puntiforme posizionata nel centro della sfera, possiamo dunque scrivere la relazione: $E=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$ (valida per r>R, cioè quando effettuo il calcolo al di fuori della sfera) Da qui possiamo dunque ottenere: $Q=E 4\pi \varepsilon_0 r^2$ Sapendo che a $r=25cm$, vale $1,3= 10^6 N/C$, possiamo ottenere: $Q=1,3= 10^6 N/C \cdot 4\pi \varepsilon_0 (0.25 m)^2=9,0\times 10^{-6} C$   2. Per poter tenere conto del dielettrico basta rimpiazzare $\varepsilon_0 \rightarrow \varepsilon_0 \varepsilon_r$. Quindi Q diven

Differenza di potenziale tra i centri delle due spire

Data l'immagine sopra riportata, calcolare la differenza di potenziale tra i centri delle due spire. per al risoluzione di questo problemi si utilizza il principio di sovrapposizione $V_p = V_p^1 + V_p^2$ dove $V_p$ è la differenza di potenziale totale,  $V_p^1$ è la differenza di potenziale dato dalla prima spira in un punto P, $V_p^2$ è la differenza di potenziale della seconda spira in un punto P. Calcoliamo la differenza di potenziale nel centro della prima spira $O_1$: $ V_{O1} = V_{O1}^1 + V_{O1}^2 $  con $ V_{O1}^1 = \frac{q}{ 4 \pi \varepsilon_0 R} $ $ V_{O1}^2 = \frac{-q}{ 4 \pi \varepsilon_0 r} $  ma che valore ha r? r lo si trova applicando il teorema di Pitagora: $ r = \sqrt{R^2 + d^2} $ $ V_{O1} =   \frac{q}{ 4 \pi \varepsilon_0 R} + \frac{-q}{ 4 \pi \varepsilon_0 \sqrt{R^2 + d^2}} =  \frac{q}{ 4 \pi \varepsilon_0} ( \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + d^2}} ) $ Lo stesso procedimento lo applichiamo sul il centro della seconda spira $ V_{O2} = V_{O2}^1 + V_{O2}^2 $  con

Flusso del campo magnetico ( due spire sullo stesso asse a distanza d)

Richiesta:  In una spira circolare fissa, di raggio $R$, passa una corrente $I$. Sull'asse di questa spira (asse x) è disposta, nel vuoto, una piccola spira circolare di raggio $r$, con centro sull'asse della spira fissa e con il suo piano parallelo a quella. Calcolare il flusso di $B$ concatenato con la spira piccola se la distanza tra le due spire è $d$. Risoluzione:  $B= \frac{\mu_0 * I * R^2}{[2 * ( d^2 + R^2)^{3/2}]}$  con $\vec{B}$ parallelo all'asse delle x  $B$ è costante su tutto la spira   Il flusso è: $\Phi_{\vec{B}} \approx \vec{B} \circ \vec{u}_N * S =  B * \pi * r^2 $

Filo conduttore, calcolo del campo magnetico in un punto

Richiesta:  Il filo conduttore di figura piegato ad U ha la distanza tra due fili $2a$ ed è percorso dalla corrente $I$. Calcolare il campo magnetico $B_c$ nel punto $c$. Risoluzione: Il campo in $c$ è la somma di tre contributi: il primo è associato al tratto 1, il secondo al tratto 2 (semicircolare), il terzo al tratto 3. I contributi sono concordi in verso e danno un campo totale entrante nel foglio: $B_c = B_1 +B_2 +B_3 = \frac{\mu_0 * I}{4 * \pi * a} + \frac{\mu_0 * I}{4 * \pi * a} + \frac{\mu_0 * I}{4 * a} = \frac{\mu_0 * I}{4 * a} * ( \frac{2 + \pi}{\pi}) $

Due sfere di massa m appese allo stesso perno tramite due fili (PENDOLO)

 Due sfere di massa $m_1 =m_2$ sono appese allo stesso perno $O$ tramite due fili di uguale lunghezza $L$.  Se $m_1$ viene portata fuori dalla verticale di una quantità $h$ e lasciata andare urta $m_2$. Determinare l'equazione del moto del sistema, se:                                                                          $Richieste$ $1)$ L'urto è completamente anaelastico $2)$ L'urto è perfettamente elastico $3)$ Descrivere il tipo di moto se l'urto è perfettamente elastico ma si tiene conto della resistenza (viscosa) dell'aria $Risposte:$ $1)$ Nel caso di un urto completamente anaelastico le due particelle procedono unite, come un unico pendolo di massa $m_1+m_2$. il periodo $T$ di tale pendolo non dipende dalla massa ed è pari a: $T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ L'ampiezza del moto si ottiene calcolando la velocità immediatamente dopo l'urto, applicando la conservazione della quantità di moto: $m_1 *v_1 = (m_1+m_2)*v$  dove $v_1$ è la velocità della massa $m_

Onde stazionarie

La figura mostra due corde che hanno stessa lunghezza e stessa densità lineare. L'estremità sinistra di ogni corda è attaccata a un muro, mentre l'estremità destra passa sopra una puleggia, collegata a oggetti di diverso peso ($ W_a$  e  $W_b$). Ogni corda presenta onde stazionarie diverse ma la frequenza è la stessa. Se $W_{A}= 44 N$, quanto vale $W_{B}$? iniziamo la risoluzione: $\psi_{A} = \sin( - 2* \pi * f * t - \frac{2* \pi }{\lambda})$ $\psi_{B} = \sin( - 2* \pi * f * t - \frac{2* \pi }{\lambda})$ dove $f$ è la frequenza $\psi_{A} + \psi_{B} = 2 * \sin( - \frac{2* \pi}{\lambda})* \cos(2* \pi * f * t)$  $\frac{2* \pi }{\lambda}*x = \pi ---> x =  \frac{\lambda}{2}$ nella figura A l'onda si da in 2 punti in B di 3  quindi  $\frac{3}{2}$ * $ \lambda_{B}$ = $ \lambda_{A}$  --->  $\lambda$ = f - V (quando la frequenza non cambia) $\frac{3}{2}$ * $\sqrt {\frac{W_{A}}{u} }$ = $\sqrt {\frac{W_{B}}{u} }$  trovo che: $W_

Chiodo percosso da un martello

Un chiodo viene percosso da un martello che lo fa penetrare nel legno di 2 cm. Il chiodo ha una massa di 2 g ed entra nel legno con una velocità di 50 m/s. Assumendo che il moto del chiodo sia uniformemente decelerato e trascurando la forza di gravità si determinino: (a) Il lavoro compiuto dalla forza che si oppone al moto del chiodo. (b) La forza che si oppone al moto del chiodo.   (a) Il lavoro esterno su un oggetto può essere scritto come $L=\Delta K=K_f-K_i$, dove con $K_f$, $K_i$ indichiamo l'energia cinetica, rispettivamente finale e iniziale. Sapendo che il chiodo dopo essere entrato nel legno si ferma vale $K_f=0$, mentre $K_i=\frac 12 mV^2=\frac 12 0.002 kg \cdot (50 m/s)^2=2.5 J$. Di conseguenza $L=-2.5 J$, il segno meno ha senso perchè la forza che ferma il chiodo agisce nel verso opposto allo suo spostamento. (b) Ricordiamo l'utile formula: $a=\frac{V_f^2-V_i^2}{2s}=\frac{-(50 m/s)^2}{2\cdot 0.02 m}= - 1.3 \times 10^5 m/s $. Ricordiamo anche il secondo principio de

Teoria: Moto rettilineo

Moto Rettilineo  Il moto rettilineo di un punto è un moto che si svolge lungo una retta sulla quale vengono fissati arbitrariamente un’origine e un verso; il moto del punto è descrivibile tramite una sola coordinata x in funzione del tempo t, x(t).  Spostamento $\Delta x = x_2 - x_1 $ dove $x_2$ è la posizione finale mentre $x_1$ è la posizione iniziale  L’intervallo $\Delta t = t_2 - t_1 $ dove $t_2$ è il tempo finale mentre $t_1$ è il tempo iniziale che solitamente se non dato dal problema è 0 La velocità istantanea è data dalla derivate dello spostamento rispetto allo spazio $V = \frac{dx}{dt} $ La velocità media è data da $V = \frac{\Delta x}{\Delta t}$ Se la velocità è costante si parla di moto rettilineo uniforme di legge oraria: $x(t)=V_{0}*t+x_{0}$ mentre se la velocità non è costante ma lo è l'accelerazione si parlerà di moto rettilineo uniformemente accelerato di legge oraria: $x(t)= \frac{1}{2}*a*t^2 + V_{0}*t + x_{0}$

Due punti materiali sotto l'azione di forze

Testo:  Due punti materiali, di masse $m_{1}=1.5Kg$ e $m_{2}=1.8Kg$ sono collegati tra loro da una molla, di costante elastica $k=50N/m$; la molla è a riposo. Supponendo che il coefficiente di attrito statico tra $m_{1}$ e il piano di appoggio è $\mu_{as1}=0.4$ e che l'analogo coefficiente per $m_{2}$ sia $\mu_{as2}=0.3$, calcolare di quanto si può allungare la molla mantenendo il sistema sempre in condizioni di equilibrio statico. Risoluzione:   Dalla teoria sappiamo che  la forza di attrito statico è $F_{as}=m*a*\mu{as}$ la forza elastica è $F_{e}=k*x$ dove $x$ è la deformazione della molla in metri mentre $k$ è la costante elastica affinché il sistema sia sempre in condizione di equilibrio la forza elastica deve essere più piccola rispetto le forze d'attrito statico dei due punti materiali $F_{e}<F_{as}$  ovvero  $k*x<m_{1}*g*\mu{as1}$ $k*x<m_{2}*g*\mu{as2}$ risolviamo per $x$ sostituendo i valori che ci ha dato il problema e troviamo  $x< 0.1176$ $x<0.106$  S

Punto materiale sotto l'azione di forze

Testo: Un punto materiale di massa $m=0.4Kg$ si muove sotto l'azione di una forza $F=8N$. La molla ha massa $M=0.1Kg$ e costante elastica $k=200N/m$. Calcolare la deformazione $x$ della molla. Risoluzione:   La forza elastica della molla è: $F_{el}=x*k=m*a$ dove $x$ è la deformazione della molla, quindi $x= \frac{m*a}{k}$ per concludere questo problema ci serve l'accelerazione $a$, ma come la troviamo?  Sapendo che la forza $F=8N$ è data dalla formula $F=(M+m)*a$, da essa ricaviamo l'accelerazione $a= \frac{F}{M+m}$ La formula per il calcolo della deformazione della molla diventa:  $x= \frac{m*F}{k*(M+m)}$ andando a sostituire i valori che ci vengono dati dal problema troviamo che $x=0.032m$ L'esercizio è completato, spero vi sia utile :)

Esercizio sul moto

Testo: In figura è riportata la dipendenza della velocità dell'intervallo di tempo $t_0=0 s$ , $t_1=19 s$ . Calcolare: a) lo spazio percorso nell'intervallo di tempo $t_{0} - t_{1}$ b) l'accelerazione ai tempi    $t_{2} = 3s$,  $t_{3} = 7s$,  $t_{4} = 17s$ Risoluzione: Partiamo osservando il grafico, da esso possiamo ricavare due cose importanti. ovvero:  1)   $V_{0} = 0m/s$      $V_{1} = 0m/s$ ho detto questo osservando che il grafico al tempo  $t_{0}$ e  $t_{1}$ 2) si tratta di un moto uniformemente accelerato da  $t_{0}$ fino a  $t = 5s$ quindi  la sua legge oraria è: $x(t) = \frac{1}{2} at^2 + V_0t + x_0$  perché in quell'intervallo possiamo notare che la velocità aumenta all'aumentare del tempo  si tratta di un moto rettilineo uniforme da  $t = 5s$ fino a $t = 15s$ quindi la sua legge oraria è: $x(t) = x_{0} + V*(t-t_{0})$ perché in quell'intervallo possiamo notare che la velocità è costante si tratta di un moto uniformemente accelerato da  $t = 15s$  fin