Teorema di determinazione di un'applicazione lineare

 Siano $V$ e $W$ due $K$-spazi vettoriali, sia $B=\{v_1,...,v_n\}$ una base di $V$ e $w_1,...,w_n$ dei vettori qualunque di $W$.

Allora esiste ed è unica un'applicazione lineare $f:V\rightarrow W$ tale che $f(v_i)=w_i$ per $i=1,...,n$.

Dimostrazione

Si tratta di un teorema di esistenza ed unicità, per prima cosa supponiamo che questa $f$ esista e dimostriamo che essa sarebbe unica.

Sia $v \in V$, allora $v$ può essere scritto in maniera unica come combinazione lineare dei vettori della base $B$, cioè $v=\lambda_1 v_1+...+ \lambda_n v_n$.

Consideriamo allora $f(v)$ allora possiamo scrivere $f(v)=f(\lambda_1 v_1+...+ \lambda_n v_n)=f(\lambda_1 v_1)+...+ f(\lambda_n v_1 )= \lambda_1 f(v_1)+...+ \lambda_n f(v_n)$ dove negli ultimi due passaggi abbiamo utilizzato il fatto che $f$ è lineare. 

Ma quindi $f(v)$ si può scrivere in maniera unica come combinazione lineare dei vettori $f(v_1),...,f(v_n) $, quindi la nostra $f$ è unica.

Dimostriamo ora l'esistenza di questa $f$.

Consideriamo $f$ tale che $f(v)=f(\lambda_1 v_1+...+ \lambda_n v_n)=\lambda_1 w_1+...+ \lambda_n w_n$, dimostriamo innanzitutto che è lineare, e poi che $f(v_i)=w_i$ per $i=1,...,n$.

  • Linearità:

 Siano $v,v'\in V$, $f(v+v')=f(\lambda_1 v_1+...+ \lambda_n v_n+\lambda_1' v_1+...+ \lambda_n ' v_n)$$=f((\lambda_1+\lambda_1') v_1+...+ (\lambda_n+\lambda_n ') v_n)$

$=(\lambda_1+\lambda_1') w_1+...+ (\lambda_n+\lambda_n ') w_n=\lambda_1 w_1+...+ \lambda_n w_n+\lambda_1' w_1+...+ \lambda_n ' w_n=f(v)+f(v')$

Sia $\mu \in K$, allora $f(\mu v)=f(\mu  \lambda_1 v_1+...+ \mu \lambda_n v_n)=\mu  \lambda_1 w_1+...+ \mu \lambda_n w_n= \mu ( \lambda_1 w_1+...+ \lambda_n w_n$

  • Dimostriamo che  $f(v_i)=w_i$ per $i=1,...,n$.

$f(v_i)=f(0v_1+...+0v_{i-1}+1v_i+0v_{i+1}+...+0v_n)=1w_i $ , ma questo vale  $\forall i=1,...,n$. 

La dimostrazione è quindi conclusa.


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