Temperatura di un muro in durante un passaggio di calore

Vi sono tre materiali da costruzione: intonaco [$k = 0,30 J/(s\cdot m\cdot °C)$], mattone [$0,60 J/(s\cdot m\cdot °C)$] e legno [ $k = 0,10 = J/(s\cdot m\cdot °C)$ ] che vengono utilizzati insieme.
Le temperature all'interno e all'esterno valgolono rispettivamente $27 °C$ e $0 °C$ e i tre materiali hanno lo stesso spessore e la stessa sezione trasversale.

Calcola la temperatura dell'interfaccia inonaco-mattone e dell'interfaccia mattone-legno.

Esercizio piuttosto complesso dal punto di vista intuitivo, anche se facile dal punto di vista matematico, quando eravamo in terza ci ha dato parecchie grane.

Sappiamo che la quantità di calore che attraversa un materiale è data dalla relazione $Q=\frac{kA\Delta T \Delta t}{L}$.
Per comodità consideriamo invece la quantità di calore che scorre nell'unità di tempo (un secondo), avrà la forma di una potenza: $P=Q/\Delta t=\frac{kA\Delta T}{L}$.
Ragioniamo in questo modo: la stessa quantità di calore che entra attraverso un materiale deve uscirne -altrimenti vi sarebbero instabilità e zone che si riscalderebbero senza limiti-, ossia il calore che passa dall'interno della casa verso l'esterno passa per tutte le interfacce: intonaco, mattone e legno.
Mettendolo in termini matematici, la quantità $P_1$ di calore per unità di tempo che passa attraverso l'intonaco è pari a $P_2$ , quella che passa attraverso il mattone, ed a $P_3$, quella che passa attraverso il legno. Quindi $P_1=P_2=P_3$.
Esplicitiamo la formula: $\frac{k_1A\Delta T_1}{L}=\frac{k_2A\Delta T_2}{L}=\frac{k_3A\Delta T_3}{L}$.
Per proprietà transitiva possiamo scriverla comodamente come due equazioni:
$\begin {cases}\frac{k_1A\Delta T_1}{L}=\frac{k_2A\Delta T_2}{L} \\ \frac{k_1A\Delta T_1}{L}=\frac{k_3A\Delta T_3}{L}\end{cases}$
Il testo del problema dice che $L$ ed $A$ non variano tra i vari materiali, possiamo quindi apportare le opportune semplificazioni:
$\begin {cases}k_1\Delta T_1=k_2\Delta T_2 \\ k_1\Delta T_1=k_3\Delta T_3\end{cases}$
Inoltre, possiamo dire che mano a mano che si parte dall'interno dell'edificio e si va verso l'esterno, la temperatura diminuirà, in particolare se consideriamo tutte le variazioni di temperatura alle estremità dei tre materiali, possiamo dire che la loro somma deve per forza combaciare con la differenza di temperatura tra interno ed esterno:
$\Delta T_1+\Delta T_2 +\Delta T_3=\Delta T_{interno-esterno}=27°C$.
Tornando al sistema precedente, possiamo utilizzarlo per diminuire il numero di incognite di questa ultima equazione: risolviamo le due funzioni in funzione di $\Delta T_1$
$\begin{cases} \Delta T_2=\frac{k_1\Delta T_1}{k_2} \\ \Delta T_3=\frac{k_1\Delta T_1}{k_3} \end{cases}$
E sostituiamo ciò che abbiamo trovato nell'equazione a tre termini:
$\Delta T_1 + \frac{k_1\Delta T_1}{k_2} + \frac{k_1\Delta T_1}{k_3} =27°C$
Svolgiamo il minimo comune denominatore:
$\frac{\Delta T_1k_2k_3+\Delta T_1k_1k3+\Delta T_1k_1k_2}{k_2k_3}=27°C$
Moltiplicando per $k_2k_3$ e raccogliendo $\Delta T_1$ si ottiene:
$\Delta T_1(k_2k_3+k_1k3+k_1k_2)=27°C\cdot k_2k_3$
Quindi:
$\Delta T_1= \frac{27°C\cdot k_2k_3}{k_2k_3+k_1k3+k_1k_2}$
Sostituendo i valori si ottiene $\Delta T_1= 6°C$, e sostituendo questo valore alle equazioni del sistema possiamo trovare i valori delle altre due differenze di temperatura: in realtà ci basta $\Delta T_2=\frac{k_1\Delta T_1}{k_2}=3°C$
Possiamo quindi risalire al valore della temperatura nella giunzione tra intonaco e mattone: $T_{i-m}=27°C-\Delta T_1=27-6°C=21°C$ e sottraendo ulteriormente $\Delta T_2$ otteniamo $T_{m-l}=21-3°C=18°C$



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